В настоящее время газеты, журналы и телевидение полны сообщений о том, что искусственный интеллект решил математическую задачу, одну из 7 «задач тысячелетия». Эти задачи были выделены институтом Клея, и за решение такой задачи этим институтом был установлен приз в 1 миллион долларов. При этом 25 лауреатов в Филдсовской премии (престижной награды, которую иногда сравнивают с Нобелевской премией) написали открытое письмо, из которого следует, что искусственному интеллекту (ИИ) не место в математических исследованиях. Попробуем разобраться, в чем же дело.
Река математики
Пифагор (570-490 гг. до н.э.), стоявший у истоков математики, является одной из наиболее интересных и загадочных личностей в истории. Он организовал религиозный орден с необычным уставом, в котором, например, было: «Не поднимай то, что упало», «Не откусывай от целой булки», «Не прикасайся к белому петуху», «Не смотрись в зеркало около огня». Все достижения учеников приписывались Пифагору. По поводу доказательства теоремы Пифагора («Пифагоровы штаны в обе стороны равны») судя по преданию, в жертву богам было принесено 100 быков. Видно, не бедно жил пифагорейский орден.
«Математическое знание казалось определенным, точным, применимым к реальному миру; более того, казалось, что знание получили, исходя из чистого размышления, не прибегая к наблюдению… На основе математики было сделано предположение, что мысль выше чувства, интуиция выше наблюдения», — писал Бертран Рассел. Платон в V веке до нашей эры полагал, что Бог является геометром, а физик Джеймс Джинс в XX веке полгал, что всевышний занимается арифметикой. Многие истолковывали и истолковывают математические объекты как мысли Бога.
Важнейшей вехой в истории науки и европейской мысли стали «Начала» Евклида, написанные в III веке до нашей эры. Видимо, автора вдохновляла структура законодательства. Вначале есть основные понятия, которые не определяются через другие, потом есть аксиомы (от греческого «принятое положение»). Всё, что мы можем доказать, опираясь на них, — теоремы. В евклидовых «Началах» содержится 465 теорем.
Время шло. Философ, математик, дипломат Лейбниц посоветовал Петру I создать академию наук и представил ему Леонарда Эйлера, с которым связана целая эпоха в истории точных наук. Собрание сочинений этого великого ученого составляет 81 том. Известную нам со школьных времен теорему о том, что три высоты треугольника пересекаются в одной точке, доказал Эйлер. Он же придумал обозначения π, i, cos, tg, f(x), которые в мире называют петербургскими символами.
Лейбниц придумал машину, которая могла делить и умножать числа и полагал, что будущее за «считающими машинами». Он считал, что эти машины будут настолько информированы, беспристрастны и объективны, что именно они и будут судить людей. Во многом эта утопия (а, скорее, антиутопия) воплощается в реальность на наших глазах. Помнится, Воланд говорил Маргарите: «Будьте осторожны со своими желаниями — они имею свойство сбываться».
Лейбниц назвал математику «наукой о возможных мирах». Это очень важный момент — физика, химия и биология — это наука о нашем единственном и удивительном мире. Если бы заряд электрона, скорость света, постоянная Планка и соотношение между ними было другим, то реальность оказалась бы иной и, скорее всего, места для нас в ней не было бы.
Математика имеет дело с другими, абстрактными сущностями. Хорошо, если они отражают наш мир, но могут и не отражать. Например, Евклид доказал, что число простых чисел (которые делятся на единицу или только на себя) бесконечно. Но в мире нет бесконечности. Число атомов во Вселенной очень велико, но конечно. Бесконечность — странная, удивительная и очень интересная игра нашего ума.
Правоту Лейбница доказал в 1826 году выдающийся математик Николай Иванович Лобачевский. Английский математик навал Лобачевского «Коперником геометрии». Он прав! Коперник показал, что Земля — одна из планет, вращающихся вокруг Солнца. Лобачевский — то, что геометрия, опирающаяся на аксиомы Евклида, это лишь одна из возможных. Есть и другие. Евклид опирался на «очевидную» аксиому о том, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, не пресекающуюся с данной. Лобачевский предположил, что их две (а, значит, бесконечно много), и это привело к совсем другой, странной и необычной конструкции всей геометрии.
Великие начали проверять, какая из геометрий лучше описывает наш мир, и пришли к выводу, что евклидово творение является отличным приближением, описывающим наше пространство по крайней мере до ближайших звезд.
На дальше — больше. В XX веке огромные усилия были вложены в то, чтобы строго обосновать саму математику. Возникло несколько альтернативных подходов. Они по-разному решают возникшие парадоксы и не сводятся одна к другой. Простейший из них парадокс лжеца. «Я лжец», — говорит человек. Он действительно лжец, который всегда обманывает или тот, кто говорит правду? Оба ответа нехороши.
Огромная полноводная река математики дошла до своего устья, разбилась в дельте на множество рукавов и протоков. И те, кто плавает в одних, часто слабо представляет, что происходит в других.
Теоретическая и прикладная математика
В XIX веке река математика разбилась на два больших рукава — теоретическую и прикладную. Бытует такая шутка: теоретическая математика делает то, что можно, так как нужно, а прикладная делает то, что нужно, так, как можно.
Галилей считал, что «Книга природы написана языком математики» и полагал, что «Следует измерять то, что измеримо и делать измеримым то, что таковым не является». Для того, чтобы обращаться с результатами измерений, моделировать, открывать новые свойства природы, общества и человека нужны математические инструменты, подходящие для этого. Их созданием и занимается прикладная математика.
Не все происходит так, как хотелось. Эйлер консультировал короля Пруссии Фридриха относительно строительства фонтанов в летнем дворце Сан-Суси. Строительство началось в 1748. Эйлер предложил свою модель течения жидкости (ныне называемую уравнением Эйлера), но фонтаны так и начали работать. О причинах можно спорить, но важный вопрос о том, как описывать движение жидкости, продолжал волновать ученых. В 1824 году французский инженер Клод-Луи Навье обобщил модель Эйлера и ввел в неё члены, описывающие вязкость. В 1845 году британский математик Габриель Стокс дополнил модель, учтя сохранение массы и импульса для описываемой жидкости.
Работа в прикладной математике очень интересна. С одной стороны, нужны «предметники», — люди, понимающие, что и почему надо моделировать. С другой стороны, нужны математики, взаимодействие с другими учеными и совместная творческая работа.
Ключевым изобретением, изменившим прикладную математику и весь мир, стали компьютеры, созданные вначале для решения военных задач. В Британии — для дешифровки сообщений противника, в США — для моделирования ядерных и термоядерных ударов, в СССР — для обеспечения работы межконтинентальных баллистических ракет и космических аппаратов.
Создание нового оружия — вещь сложная и дорогая. Прежде чем за дело возьмутся инженеры, конструкторы и предприятия нужно очень точно представлять, что и как должно работать и что мы хотим получить. Институт прикладной математики, в котором я имею честь работать, сыграл очень важную роль в реализации советского атомного и космического проекта.
Если считать биосферу первой природой, техносферу — второй, то у нас на глазах сформировалась третья природа — информационно-телекоммуникационное пространство.
В развитии технологий своя логика — ни одна технология не развивалась в таком темпе, как компьютерная, которую правильно было бы назвать математической отраслью. За 70 с лишним лет быстродействие компьютеров выросло в 1018 раз по сравнению с первыми вычислительными машинами. Компьютеров сейчас в мире более 6,2 млрд, и они заменили почту, газеты, журналы, кино, телефон, пишущие машинки, проигрыватели, книги, тренеров, уроки по множеству предметов и еще очень-очень многое. 5 самых больших компаний мира по капитализации по данным июня 2026 года относятся к математической отрасли. Это NVIDIA — $ 4,8 трлн; Apple — $ 4,3 трлн, Alphabet — $ 4,2 трлн; Microsoft — $ 2,8 трлн; Broadcom — $1,8 трлн.
Не обошли своим внимание компьютеры и мошенники. По нынешним оценкам доходы киберпреступников в 2026 году составят $ 12 трлн. Это больше, чем валовой внутренний продукт всех стран кроме США и Китая. Прикладная математика сформировала другую реальность.
Однако это сфера едина, и в этом её обаяние. Многие поколения исследователей готовы решать задачи или доказать, что они решения не имеют, не думая о каких-либо приложениях своих результатов. Например, в школе нас учат, как с помощью циркуля и линейки можно разделить на два одинаковых угла. А на три? Математики пытались ответить на этот вопрос 22 века и, в конце концов, выяснили, что эта задача неразрешима. Но на пути к этому ответу были развиты многие представления алгебры. И ещё через столетие с лишним лет эти результаты нашли множество приложений. Например, без них не работали бы наши мобильные телефоны.
Другая задача, удивительно простая по виду. Её поставил в 1742 году немецкий математик Христиан Гольдбах в письме к Леонарду Эйлеру. Гипотеза, которую следует подтвердить или опровергнуть такова: любое четное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел. Компьютер для всех чисел, с которыми может справиться, подтверждает эту гипотезу. Но доказательств у нас, как и у Эйлера, пока нет.
Моделирование элементов сознания
В 1952 году выдающийся британский математик и криптограф Алан Тьюринг написал книгу «Может ли машина мыслить?». Разбирая множество аргументов и не находя среди них убедительных, он пришел к выводу, что на этот вопрос можно будет дать положительный ответ, если машина будет выигрывать у людей в игру «Имитация».
Уже тогда людям хотелось бы, чтобы машина рисовала картины и писала музыку, знала сотни языков, была отличным библиотекарем, «знающим» десятки миллионов книг, помогала ставить диагнозы и была хорошим собеседником. Иными словами, делать всё то, что мы сейчас связываем с искусственным интеллектом.
Этот термин появился впервые на конференции в Дартмутском колледже в 1956 году в докладе Джона Маккарти. Это не слишком хороший термин. «интеллект» происходит от латинского intellectus — «понимание, рассудок, познание». Пока это слишком высокая планка для машины. Не точно и слово «искусственный», — компьютер работает с языком — сложной самоорганизующейся системой, которая сложилась и развивается в результате общения и размышлений миллиардов людей. ИИ — не самостоятельная сущность, а скорее пристройка около нашей культуры, своеобразное зеркало реальности, созданной людьми. В отечественном варианте вся эта деятельность называлась «моделирование элементов сознания». Но раз уж применился рекламный слоган «искусственный интеллект», то будем пользоваться им, понимая всю его приблизительность.
По сути, ИИ родился из простой идеи облегчить работу человека с компьютером, добиться, чтобы она шла быстро, легко и желательно без ошибок. Существует два вида ИИ — логический и генеративный. Их можно пояснить с помощью игр, в которых ИИ добился успеха.
В логическом ИИ ученые пытаются разобраться, как действует человек, выясняют алгоритмы решения задачи, а затем программирует его, стараясь использовать главные преимущества машины — огромную память и быстродействие. Трудности здесь две — программы получаются огромными, программист в среднем делает одну ошибку на 1000 команд, поэтому отладить написанное, «продебажить», как говорит сейчас молодежь, нелегко. Гроссмейстеры помнят десятки миллионов партий и, конечно, все дебюты, заслуживающие внимания. Число возможных позиций в шахматах составляет 4,8·1044 — их все не запомнить. Нужно научить машину оценивать позицию на доске и отказываться от продолжений, ведущих в тупик. Это было нелегко, но ученые справились с этой задачей. 11.05.1997 шахматный суперкомпютер Deep Blue, разработанный фирмой IBM, выиграл у чемпиона мира по шахматам со счетом 3,3:2,5.
Действовать так же с древней игрой «го», придуманной 2500 лет назад в Китае, не удалось. В этой игре 10170 позиций (напомним, что по нынешним оценкам во Вселенной около 1080 атомов). На помощь ученым пришел генеративный ИИ. Его идея проста — имитировать на компьютере аналоги нервных клеток — нейронов — и механизмы связи между ними, подсказанные нейробиологами. Именно эти связи принципиальны — их формирует наша биология, то, чему мы научились, и наша жизнедеятельность. Именно с ними связаны наша память, воля, фантазии, способность к творчеству.
При этом компьютер не надо программировать, — он воспринимает обучающую выборку и действует методом проб и ошибок, меняя связи в случае неудач.
Суперкомпьютер разбили на 2 части, сообщили им правила игры в го, не показали ни одной партии, сыгранных людьми, и дали возможность играть друг с другом, совершенствуя свои стратегии.
На саммите «Будущее го» в Вужене, в Китае программа AlphaGo играла с чемпионом мира Кэ Цзе. Сотни миллионов китайцев смотрели эту игру в режиме реального времени. Проиграв три партии программе, Кэ Цзе сказал: «В прошлом году я думал, что стиль игра AlphaGo близок к человеческому. Но сегодня я понял, что она играет как бог игры го». Программа показала новый стиль игры, идущий вразрез с мировой традицией.
В 2025 году исследователи из Калифорнийского университета в Сан-Диего опубликовали результаты эксперимента, в котором модель GPT-4.5 от компании Open AI успешно выдала себя за человека в 73% случаев. Тест Тьюринга пройден. Настало время подумать.
В своё время к нам в институт приходил чемпион мира и выдающийся тренер Михаил Ботвинник. Он призывал научить машину играть в шахматы и обещал свою помощь.
На мой взгляд этого не следовало делать. «Человеку — человеческое, машине — машинное». Раньше поединки гроссмейстеров были сражениями мудрецов, а сейчас превратились в интеллектуальный стриптиз — сейчас зрители в зале смотрят на свои смартфоны и рассуждают о том, догадается ли игрок до хода, который предлагает ИИ. Теперь та же ситуация в го…
На мой взгляд перед культурой стоит очень серьезный вызов. Чтобы рисовать так, как делает ИИ, надо учиться 5-6 лет. Программа же это делает вмиг, в стиле разных художников, меняя получившееся в соответствии с пожеланиями заказчика. Мои знакомые художники потеряли 2/3 заказов из Европы — их заменил ИИ. Программы позволяют составлять «музыкальные коктейли», например, смешать 30% Моцарта, 30% Бетховена и 40% Гершвина.
ИИ с легкостью пишет речи на сотне с лишним языков в защиту или опровержение заданного тезиса. Актеры Голивуда протестуют против ИИ, в той или иной степени заменяющего их. Реалистичную ИИ модель Тилли Норвуд позиционировали как настоящую актрису. Впечатляет «Мисс АИ-2024» Кенза Лейли, которая круглосуточно общается на 7 языках с более, чем двумястами своих подписчиков. Есть шанс, что век «живых» или, как их называют «белковых», актеров недолог.
Думаю, что людям, связанным с художественной культурой, важно осознать этот серьезный вызов и предпринять необходимые шаги.
Философские шаги
Математику можно сравнить с океаном. Путешествуя в нем, очень важно разобраться, какие задачи следует решить в первую очередь. В 1900 году Давид Гильберт представил список из 23 проблем, которые должны были определить развитие математики в XX веке, 16 из них считаются решенными.
Работа над ними привела ко многим глубоким и оригинальным моделям.
В 2000 году Математический институт Клея выделил семь сложнейших математических проблем — задач тысячелетия. За решение каждой из них назначена премия в 1 миллион долларов.
Из семи задач одна была решена в 2002-2003 году Григорием Перельманом — доказана гипотеза Пуанкаре. 6-я задача связана с уравнениями Навье-Стокса, описывающими движение вязкой жидкости или газа. Задача тысячелетия — доказать существование и гладкость для трехмерного случая (или привести контрпример). Решение этой задачи сильно продвинуло бы понимание турбулентности (см. рис. 1). Эта задача очень коварна. В одноименном приближении ее без труда решит студент. Ее решения просты, но они не описывает турбулентных течений. В двумерном случае все сложнее, и течения там гораздо сложнее и разнообразнее, но и там нет турбулентности. Для этих случаев математики доказали и существования, и единственность решения. Описание хаотических, турбулентных режимов требует постановки трехмерной задачи. С доказательством ее существования и единственности ученые не могли справиться почти два века. Профессор Калифорнийского университета Теренс Тао пишет: «Эти задачи подобны маякам. Они служат важными ориентирами, притягивающими усилия ученых».
Если многим выдающимся математикам много лет не удается доказать существование и единственность решения, то это явный признак того, что мы имеем дело с новыми явлениями, о которых ранее не догадывались. Мой учитель, директор Института прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН С.П. Курдюмов считал, что в этих уравнениях в трехмерной постановке имеет место режим с обострением. То есть такой режим, при котором одна из величин, характеризующих решение, неограниченно возрастает за ограниченное время (см. рис. 2). Конечно, такими моделями надо пользоваться с большой осторожностью.
На первый взгляд казалось, что ИИ не имеет никакого отношения к теоретической математике, к строгим доказательствам, с которыми люди не могли справиться сотни лет.
Однако это оказалось не так. Одна машина ИИ ищет пути от условий к результату (как в шахматах — от исходной позиции к выигрышу). Другая проверяет, насколько корректны формальные переходы в доказательстве. «Математика — это язык», — говорил Гиббс. Важно, чтобы все правила принятой грамматики неукоснительно соблюдались.
Исследователи из корпорации OpenAI заявили, что ИИ смогла решить задачу тысячелетия, связанную с уравнением Навье-Стокса. И гипотеза моего учителя оправдалась, — действительно возникает вихрь, растущий до бесконечности за конечное время. Доказательства компания пока не опубликовала, но если там всё в порядке, значит ИИ взял очень высокую вершину, до которой не дотянулись люди. Естественно на это событие отреагировало математическое сообщество.
С 1936 года в честь Джона Филдса один раз в четыре года вручается премия выдающимся математикам не старше 40 лет. 11.09.2026 года 25 лауреатов этой премии опубликовали письмо, отвергающее использование ИИ в математике. Они пишут: «Стремление компаний ИИ решать математические задачи в качестве эталона наносит ущерб науке о математике и математическому сообществу…Самые ценные ресурсы нашей профессии — это студенты и идеи, которые мы развиваем с большой осторожностью… Наши идеи мы распространяем в беседах, частных дискуссиях и тщательных сочинениях, соединяя их с предыдущими идеями других… Решение проблем является лишь инструментом и посредником для достижения основной цели концептуального понимания и инсайта».
Удивительно — математика без задач, но зато с сохранением своего сообщества. Примерно, как в романе Гессе, где была провинция Касталия для игроков в бисер.
Думаю, дело в логике разных цивилизаций. Когда я поздравлял американских коллег с доказательством теоремы Ферма, которое искали более 350 лет, американские коллеги меня не понимали. Они были в трауре — ведь они её доказали, а другой теоремы Ферма уже нет…
Но ведь логика должна быть обратная! Наука — это не спорт и не художественное творчество. Новое доказательство, пусть и найденное ИИ, это общее достижение, новые пути, идеи и горизонты. Стоит порадоваться, когда кому-то удается снять звезду с неба и посмотреть, что эта звезда осветит вокруг нас.
«Надо любить науку в себе, а не себя в науке», — часто говорил мой учитель. Думаю, что он был прав.
Самое время заглянуть в будущее. Начало широкого использования ИИ всюду, в том числе в математике, очень похоже на массовое использование компьютеров, которых сейчас в мире более 6,2 млрд. Сегодня трудно представить, как мы обходились без них — без мобильных телефонов, помогающих нам вмиг найти нужного человека, без интернета, помогающего узнать, увидеть, услышать о важных для нас всех делах, о навигаторах и исследовательских проектах, невозможных без современных вычислительных возможностей. Компьютеры, создававшиеся для одних дел, оказались очень-очень важны для других.
Вероятно с ИИ будет так же. Здесь очень важен принцип, о котором стоит рассказать. В 1960 х гг. у нас институте занимались распознаванием образов, формировали область, которую можно было бы назвать «математической медициной». Дело в том, что диагностика ряда заболеваний требует, судя по учебникам, осмысления 1200÷1500 признаков, симптомов, результатов анализов. Всё это находится за пределами человеческих возможностей, которые позволяют оперировать не более, чем 5÷7 параметрами. Как же врачам удается нас лечить и добиваться успеха в такой ситуации?! Дело в самоорганизации в пространстве стратегий и знаний, происходящих в ходе профессиональной деятельности. Именно она и позволяет в разных ситуациях находить несколько параметров, с которыми мы можем справиться. Каковы они? К сожалению, врач обычно не может нам их назвать. И здесь, говоря современным языком, на помощь пришел логический ИИ, позволяющий в диалоге с врачом выявить его скрытое знание. Знание выдающихся специалистов, которые добивались успехов, стало общим достоянием. В результате этой работы, которая велась в научной школе академика И.М. Гельфанда, смертность от ряда редких опасных заболеваний удалось снизить в несколько раз. В результате исследователи сформулировали очень важный принцип: «Не вместо врача, а вместе с врачом». Компьютерный советник помогает доктору, а не заменяет его.
Вероятно, то же самое произойдет с ИИ. Теренс Тао, филдсовский лауреат и до недавнего времени энтузиаст в области применения компьютеров для строгих доказательств, сказал о происходящем: «Это пугающее, но очень захватывающее время». Он сравнил математику с набором скал, вершин, горных хребтов, а ИИ — с роботами, прыгающими на 3 метра выше любого человека. В течение нескольких лет они смогли покорить множество разнообразных вершин, до которых «допрыгнули» и даже такую вершину, как задача тысячелетия. Они могут формулировать огромное количество гипотез. В отличие от нас они «знают» не сотни, а сотни тысяч математических работ и могут создавать «коллаж» из фрагментов, ведущих к доказательству, либо найти статьи, в которых задачи, над которыми мы размышляем, уже решены, но затем всё это оказалось забыто в океане информации. По мнению Тао это, скорее, «искусственная хитрость, а не искусственный интеллект».
Но ведь все эти системы, так же как и большие языковые модели, оперируют с тем, что создали, придумали, открыли люди — «не вместо человека, а вместе с человеком».
О роли компьютеров в доказательствах и в их проверке позволяет судить проверка гипотезы Кеплера. Того самого ученого, который рассматривая данные о расположении планет на небосклоне, собранных в течение 20 лет Тихо Браге, вывел законы Кеплера, показал, что с высокой точностью планеты вращаются по эллипсам, а одном из фокусов которых находится Солнце. Рассматривая, как лучше складывать пушечные ядра, Кеплер в 1611 г. в статье «О шестиугольной снежинке» высказал свою гипотез о том, как самым плотным образом расположить сферы в пространстве.
Если бросать шарики в кувшин, то плотность заполнения составит 65%. Однако по мнению Кеплера более высокой плотности можно добиться, если действовать иначе:
- для первого слоя шариков следует расположить их в виде шестиугольной решетки (узор в виде пчелиных сот);
- следующий слой шариков следует размещать, помещая шарики в самые нижние промежутки над шариками следующего слоя;
- далее заполняем самые нижние промежутки предыдущего слоя.
При этом может получиться кубическая плотная упаковка и гексагональная плотная упаковка (см. рис. 3). Их средняя плотность 𝝅/3√2 ≈ 0,74048… Гипотеза Кеплера состоит в том, что ни одна упаковка шаров не имеет большей плотности. На первый шаг этот результат кажется очевидным. Однако доказательства в математике играют очень большую роль. Может быть, большую, чем в любой другой науке. Только опираясь на них, можно строить здание математики дальше.
С 1992 по 1998 гг. Томас Хейлз работа над этим доказательством и заявил, что завершил его. Идея состояла в том, чтобы свести задача с бесконечной упаковкой к проверке конечного числа конкретных локальных конфигураций. Пришлось проанализировать 5 тыс. различных конфигураций и решить около 100 тыс. задач линейного программирования. В 2003 г. жюри из 12 экспертов, нанятое журналом Annals of Mathematics, пришло к выводу что доказательство, скорее всего, верно, но полностью перепроверить вручную компьютерные расчеты невозможно.
Чтобы устранить оставшиеся сомнения, Хейлз запустил проект Flyspek (Formal proof of the Kepler Conjecture — формальное доказательство гипотезы Кеплера). Команда математиков работала над этим проектов около 10 лет, проверяя шаги доказательства с помощью специализированных программ-ассистентов. В 2017 г. доказательство прошло окончательное рецензирование.
Кеплер был прав. Сейчас это доказано.
Рисунок 1. Турбулентные — хаотические — течения. Они удивительно разнообразны и очень важны для тех, кто двигается в воздухе, в воде или под водой, либо что-то перекачивает. Компьютеры позволяют получить приближенную картину, необходимую для расчетов. Однако было бы очень важно понимание этого удивительного явления
Рисунок 2. Вихрь, описываемый уравнением Навье-Стокса. Разными цветами показаны траектории частиц, движущихся в разными скоростями. Судя по доказательству подобный вихрь за конечное время приобретает бесконечную скорость, и это означает, что решение уравнения Навье-Стокса не существует. Для описания жидкости в подобных случаях нужно использовать другие модели
Рисунок 3. Трансцентрическое и объемоцентрическое расположение сфер
